Green函数

#Green函数 #基本解 #Poisson方程

工具:Green 公式与第二 Green 公式

由分部积分的微分形式

Ωu\laplacevdx=Ω((uv)uv)dx=Ω(uv)dxΩuvdx=散度定理ΩuvdS(x)Ωuvdx.

以上公式称为 Green 公式.同理有

Ωv\laplaceudx=ΩvudS(x)Ωuvdx.

二式作差得

Ω(u\laplacevv\laplaceu)dx=Ω(uvvu)dS(x)=Ω(uvνvvν)dS

称为第二 Green 公式.

三维 Laplace 方程的半完全解

u(x0)=14πΩ(1|xx0|uνν1|xx0|u)dSx

是三维 Laplace 方程的一个解.

证明

我们只需证 u(0)=Ω(uΓνΓuν)\du.
Ω=ΩBε(0)Γ=14π|xx0| 是基本解,由基本解的性质

Ω(u\laplaceΓΓ\laplaceu)dx=0.

由 Green 第二公式

0=Ω(u\laplaceΓΓ\laplaceu)\dx=Ω(uΓνΓuν)\dSxBε(0)(uΓνΓuν)\dSx=Ω(uΓνΓuν)\dSxBε(0)uΓνdxBε(0)Γuν\dSx

第二个积分式

Bε(0)u14π|x|2dSx=14πε2Bε(0)udSx=平均值性质u(0)

第三个积分式

Bε(0)ΓuνdSx=Γ(ε)Bε(0)udSx=散度定理Γ(ε)Bε(0)\laplaceudx=0

即证.

Green 函数

引入

由于上面的解的表达式仍然需要同时使用两种边值,这是不好的——我们会希望一种边值即可.为此,我们引入新的函数来化简表达式.

gΩ 中的一个调和函数,且 g|Ω=14π|xx0|,若对 u,g 使用第二 Green 公式,得

0=Ω(ugngun)dS.

与上面的表达式相加得

u(x0)=Ω(un(g14π|xx0|)(g14π|xx0|)un)dS=Ωun(g14π|xx0|)\dx

这就把初速度的边值项消掉了.进一步,令

G(x,x0)=g(x)14π|xx0|

上式就变为

u(x0)=Ωφ(x)Gn(x,x0)dSx.

因此,我们的目标转为求出这样的 G,即:

定义:Green 函数

Green 函数

定义 Ω 上算子 \laplace 的 Green 函 G(x,x0) 满足以下三个条件:

  1. GΩ 上除 x0 外二阶连续可微;
  2. 对任意 xGG(x)=0
  3. G(x,x0)+Γ(|xx0|)x0 有限,且处处连续可微且调和.
用 Green 函数表示 Laplace 方程的解

若区域 Ω 的 Green 函数已知,则

u(x0)=Ωφ(x)Gn(x,x0)dSx

是 Laplace 方程 \laplaceu=0 的一个解.

性质:对称性

G(a,b)=G(b,a).

常见的 Green 函数构造:电像法

半空间

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (-3,0) -- (3,0);
\fill[gray,opacity=.1] (-3,3) rectangle (3,0);
\fill[black] (0,2) circle (0.05) node[above] {$+$} node[below] {$x_0$};
\fill[black] (0,-2) circle (0.05) node[below] {$-$} node[above] {$x^*$};
\draw[dashed] (0,-2) -- (0,2);
\end{tikzpicture}
\end{document}
G(x,x0)=Γ(|xx0|)Γ(|xx|).

圆盘与球

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\fill[gray,opacity=.1] (0,0) circle (3);
\fill[black] (0,0) circle (.05) node[below] {$O$};
\fill[black] (60:1.5) circle (.05) node[above] {$+$} node[below] {$x_0$};
\fill[black] (60:6) circle (.05) node[above] {$-$} node[below] {$x^*$};
\draw[dashed]  (0,0) -- (60:1.5) -- (60:6) -- (3,0) -- (60:1.5) (3,0) -- (0,0);
\draw[xshift=3cm,yshift=0] (-.4,0) -- (-.4,.4) -- (0,.4);
\draw[shift={(60:1.5)},rotate=60,xscale=-1,yscale=-1] (-.4,0) -- (-.4,.4) -- (0,.4);
\end{tikzpicture}
\end{document}

由反演变换, x=R2|x0|2x0 .设

G(x)=Γ(|xx0|)Γ(C|xx|),

任意代入一个边界上的点,例如 R|x0|x0,解得 C=|x0|R

用 Green 函数表示位势方程的解

考虑位势方程

{\laplaceu=fin Uu=φon U

G 为区域 U 的一个 Green 函数,结合上面所说及基本解卷积非齐次项为自由Poisson方程的解,则

u(x)=Uφ(y)Gν(x,y)\dSy+Uf(y)G(x,y)\dy

是方程的一个解.

Poisson 公式

Poisson 核与 Poisson 公式

Poisson 核

G 为区域 Ω 的一个 Green 函数,则

K(x,y)=Gν=Gν

称为 Ω 的 Poisson 核.

由此,我们有 Poisson 公式:

Poisson 公式

区域 Ω 上 Laplace 方程的一个解是

u(x)=UK(x,y)φ(y)\dSy.

三维球上的 Poisson 公式

考虑单位球上的 Green 函数

G(x,x0)=Γ(xx0)Γ(|x0|(xx))

Gi(x,x0)=Γi(xx0)iΓ(|x0|(xx))

Γi(xx0)=xix0i4π|xx0|3iΓ(|x0|(xx))=xi|x0|2x0i4π|x0|3|xx|3=xi|x0|2x0i4π|xx0|3.

因此对 xB1(0)

K(x,x0)=Gr=14π|xx0|3i=13xi((xix0i)xi|x0|2+x0i)=1|x0|24π|xx0|3.

从而由 Poisson 公式

u(x0)=1|x0|24πB1(0)φ(x)|xx0|3\dSx.

作变换得到 BR(0) 上的 Poisson 公式

u(x0)=R2|x0|24πRBR(0)φ(x)|xx0|3\dSx.

球上的 Harnack 不等式

uBR(x0) 调和且非负,则

RR+rRrR+ru(x0)u(x)RRrR+rRru(x0).

这里 r=|xx0|<R.

证明

不妨设 x0=0,由 Poisson 公式

u(x)=R2r24πRBR(0)φ(y)|yx|3\dSyu(0)=R4πBR(0)φ(y)|y|3\dSy=14πR2BR(0)φ(y)\dSy.

由三角不等式,Rr|yx|R+r,代入得

u(x)Rr4πR(R+r)2BR(0)φ(y)\dSy=R(Rr)(R+r)2u(0).u(x)R+r4π(Rr)2BR(0)φ(y)\dSy=R(R+r)(Rr)2u(0).
与另一个 Harnack 不等式的联系

另一个 Harnack 不等式是:VΩ 内有界紧集,则存在一个只与 \diamV 和维数有关的常数 C>1,使得对其中任意 x,y

1Cu(x)u(y)Cu(x).

我们说明,当 Ω 是开球时,可以用本节提到的 Harnack 不等式推出该不等式,从而本节提到的不等式更强.

由于 Ω 是开球,因此可以找到一个闭球 Br(0)Ω 包住 V .因此对任意 xV,都有 |x|r,从而由单调性得

R(Rr)(R+r)2u(x)u(0)R(R+r)(Rr)2.

因此对任意 x,yV,我们有

u(x)R(R+r)(Rr)2u(0)=(R+r)3(Rr)3R(Rr)(R+r)2u(0)(R+r)3(Rr)3u(y)u(x)R(Rr)(R+r)2u(0)=(Rr)3(R+r)3R(R+r)(Rr)2u(0)(Rr)3(R+r)3u(y)

因此 C=(R+r)3(Rr)3 满足要求.

技巧:内估计

一种技巧是:对 BR(0),用 BR/2(0) 上的 Harnack 不等式进行估计,得到范围内解的性态.这一手段称为内估计.